第89章 白发魔的特权(3/5)

徐武，自己走到讲台一边，静静的看着。

    徐武一愣，好家伙，这是早有准备，把题目都写好了。

    题目：设 \\( a, b, c \\) 是正实数，用柯西不等式证明 \\( (a + b + c)( \\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c} ) ＝9 \\)。

    解：

    1 应用柯西不等式：

    柯西不等式表明，对于任意的实数 \\( x_1, x_2, \\ldots, x_n \\) 和 \\( y_1, y_2, \\ldots, y_n \\)，我们有

    \\[ (x_12 + x_22 + \\cdots + x_n2)(y_12 + y_22 + \\cdots + y_n2) \\q (x_1y_1 + x_2y_2 + \\cdots + x_ny_n)2 \\]

    2 选择合适的 \\( x_i \\) 和 \\( y_i \\)：

    用\\( x_i \\) 和 \\( y_i \\) 来表示 \\( a, b, c \\) 和 \\( \\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, \\frac{1}{c} \\)。我们可以令

    \\[x_1 = \\sqrt{a}, \\ad x_2 = \\sqrt{b}, \\ad x_3 = \\sqrt{c}, \\ad y_1 = \\sqrt{a}, \\ad y_2 = \\sqrt{b}, \\ad y_3 = \\sqrt{c} \\]

    3 应用柯西不等式：

    根据柯西不等式，我们有

    \\[ (a + b + c)(\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c}) = (x_12 + x_22 + x_32)(y_12 + y_22 + y_32) \\q (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)2 \\]

    4 简化右边的表达式：

  
本章还未完，请点击下一页继续阅读>>>